キャサリンはどうして、当てられたんだい？
そんなの簡単よ。
まず、わたしが聞いた最初の質問は、$x$=3の代入の結果でしょ。
そして、最初に聞いた多項式が合ってるかどうかを確かめた。
これは、係数に3を超える数が存在するかどうか、あたりをつけるためにしたのよ。
えっ、どういうこと？
そんなことも分からないの？
だからいつまでたっても、あんたは成長しないのよ！
まず、$x=3$の代入結果である25を、3進法で展開していったのよ。
すると、$25=2×3^2+2×3+1$となるでしょ？
これから、最初は、$p(x)=2x^2+2x+1$と推測した感じよ。
でも、それは僕が違うって答えたやつだよね。
そう早まらないで、ジョニー。
これは、$p(x)$として考えられる1つの選択肢をここで消しているのよ。
つまり、必要なステップというわけ。そして、ここで当てられなかったから、わたしは、次に$x=25$を代入した結果を聞いたのよ。
でも、どうして$x=25$という数を選んだんだい？
それは、ヤケクソになってでも決めたのか？
全然違うわよ。これも選ぶべくして選んだ数字なの。
さっきジョニーが教えてくれた結果が25だったでしょ、その数字よ！
この25という数字は、ジョニーが想像している多項式の、どの係数よりも小さくない数なの。
そして、代入結果の751を、25進法で展開したのよ。
$751=1×25^2+5×25+1$だから、そこから係数を引っぱり出して、
$p(x)=x^2+5x+1$にしたのよ。
わたしのようにすれば、ここで必ず正解できることになるの。
おそらくこの会話を聞いても、キャサリンが言ってるプロセスがどういう理屈で成り立っているのか、不思議に思う人もいると思います。
まず、適当に代入する値を決めます。今回は$x=3$を代入しましたが、1以上の整数であり、かつ、代入計算が大変な大きい数でなければ何でもよいです。
そして、得られた代入結果を、代入した数の進法で展開します。
これは、そもそも多項式$p(x)$が$x$進法で展開された形になっていることに着目しているのです。
つまり、代入結果さえ分かれば、代入した数から多項式を再構築していくことが可能というわけです。
しかし、それが正解でなかったのはどうしてでしょう？
ジョニー大久保くんが想定した多項式、$p(x)=x^2+5x+1$は、代入した$x=3$よりも大きい”5”を係数として有していたからです。このため、3進法での展開では、項に（3よりも大きな）5が代入されると、その項の係数が次の項の係数に移行してしまうため、当初の係数にズレが発生してしまうのです。
つまり、位が繰り上がった本来ならば、$25=2×3^2+2×3+1$となります。ところが、位の上がらない、$25=3^2+5×3+1$の形については、ここからは見えてきません。
実際、位が繰り上がらない数として、5よりも大きな数を、キャサリンが最初から選択できていた場合には、1回目で正解することができていました。今回は、その”5”より小さな”3”をたまたま代入する数として選んでしまったが故に、係数の繰り上がりが起こってしまったのです。
今回であれば、最初にキャサリンが確かめた、$p(x)=2x^2+2x+1$については、もちろん正解になっている可能性はありました。
そうすると、次は、この5より大きな数を代入すればよいわけですが、この”5”という数は質問者には伏せられた数なので、何を代入すれば、この伏せられた数を超えてくるのかを判断するのは難しいようにも思われます。
しかし、多項式の形を考えると、一度目の代入結果である25は、どの項の係数よりも小さくなることはありません。そこで、伏せられた数を確実に超える数として、25を安心して代入することができるのです。
そうして、各項での繰り上がりは起こらずに、ジョニー大久保くんが意図した形での多項式を再構築できるのです。
ご興味があれば、ぜひやってみてくださいね～！
後編（種明かし編）完
コメント